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课件网) 第七章 复数 复数的加、减运算及其几何意义 学习目标： 1、熟练掌握复数的加、减运算法则； 2、理解复数加、减运算的几何意义， 能利用“数形结合”的思想解决问题. 学习重点： 复数的加、减运算及其几何意义. 复习回顾 1.复数的概念 2.两个复数相等的充要条件 3.复数的几何意义 x y 0 Z(a,b) a b z=a+bi 复平面 提出问题 i2=-1 设想:希望复数能像实数那样进行加、减、乘、除四则运算，且仍然具有运算的封闭性. 复数集C={a+bi |a,b∈R} 自然数 整数 有理数 实数 复数 负整数 分数 无理数 虚数 口语：图象之后，希望引入的数有运算，并且能与原来的数的运算达成一种融合，兼容。距离华为手机的安卓系统到鸿蒙系统。并有一个设想： 解决问题 设z1=a + bi，z2= c + di (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么 那么z1+ z2=？ 规定z1+ z2=(a + bi) + (c + di )= (a + c)+(b + d)i. 2.两个复数的和仍然是一个确定的复数. 1.复数的加法法则为实部相加，虚部相加； 注： 一、复数的加法和运算律 z1+z2=z2+z1 z1+z2+z3=(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 交换律 结合律 那么 设z1=a + bi，z2= c + di ，z3= e + fi (a,b,c,d,e,f∈R) 一、复数加法的运算律 (c+ a)+(d + b)i. z2+ z1=(c + di )+(a + bi) = (a+ c)+(b + d)i. z1+ z2=(a + bi) + (c + di)= 证： z1+ z2= z2+ z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 同理 口语：复数加法的交换律本质上看是实数加法的交换律 二、复数的减法法则 新 知 探 究 实部相减为实部 虚部相减为虚部 我们规定，复数的减法是加法的逆运算 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 新 知 生 成 复数的加、减运算法则 2、复数的加减法则可以推广到多个复数相加减的情况 1、两个复数的和或差仍然是一个确定的复数 3、当 b=d=0时，复数的加减法则与实数的加减法则一致 新 知 生 成 复数的加、减运算法则 新 知 探 究 问题2：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.而我们讨论过向量加法、减法的几何意义，你能由此出发讨论复数加、减法的几何意义吗？ 复数的加法可以按照向量的加法来进行 复数加法的几何意义 在复平面内，设复数 z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 则OZ1=(a,b), OZ2=(c,d). 由平面向量的坐标运算法则,可得 OZ=OZ1+OZ2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i 复数的减法可以按照向量的减法来进行 复数减法的几何意义 在复平面内，设复数 z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 则OZ1=(a,b), OZ2=(c,d). 由平面向量的坐标运算法则,可得 OZ=OZ1-OZ2=(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)，即z=(a-c)+(b-d)i 新 知 探 究 课 堂 典 例 例、 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1 , y1), Z2(x2 , y2)之间的距离.(课本P77页例2 ) 解：在复平面内，点Z1(x1 , y1), Z2(x2 , y2)对应复数分别为z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, 所以Z1，Z2之间的距离为： 复数减法的几何意义 复平面内两点之间的距离 几何问题代数化 巩 固 练 习 1、求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离: 分析：复平面上两点Z1，Z2的距离转化成对应两复数之差的模; 反 思 总 结 问题：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面来谈. 知识方面 学习了复数加减运算法则、运算律、加减运算的几何意义、两点间的距离公式. 思想方法 转化与化归 复数代数表示的加减运算可以转化成向量的加减运算；复数的减法可以转化成复数的加法运算. 数形结合 借助图形用向量的加减运算进行复数加减运算. 类比 类比实数的加减运算法则和运算律得出复数的加减运算法则和运算律. 经验 研究新的数学问题可以类比已学过的问题 方法与思想 设 z=x + yi z1+z2=z2+z1 ... ...
