2025高考数学模拟题分类汇编(二)—导数解答题专练(含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台 2025高考数学模拟题分类汇编（二）———导数解答题专练 参考答案与试题解析 一．解答题（共20小题） 1．（2024 新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝lnax+b（x﹣1）3． （1）若b＝0，且f′（x）≥0，求a的最小值； （2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形； （3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围． 【分析】（1）由，解得函数f（x）的定义域，当b＝0时，，求导，结合基本不等式，即可得出答案． （2）计算f（2﹣x）+f（x），即可得出答案． （3）根据题意可得f（1）＝﹣2，得a＝﹣2，分析x∈（1，2）时，f（x）＞﹣2恒成立的必要性和充分性，即可得出答案． 【解答】解：（1）由，解得0＜x＜2， 所以函数f（x）的定义域为（0，2）， 当b＝0时，， 所以，对 0＜x＜2恒成立， 又，当且仅当x＝1时取“＝”， 所以只需2+a≥0，即a≥﹣2， 所以a的最小值为﹣2． （2）证明：x∈（0，2），f（2﹣x）+f（x）， 所以f（x）关于点（1，a）中心对称． （3）因为f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2， 所以x＝1为f（x）＝﹣2的一个解， 所以f（1）＝﹣2，即a＝﹣2， 先分析1＜x＜2时，f（x）＞﹣2恒成立， 此时f（x）＞﹣2，即为ln2（1﹣x）+b（x﹣1）3＞0在（1，2）上恒成立， 设t＝x﹣1，t∈（0，1），则ln2t+bt3＞0在（0，1）上恒成立， 设g（t）＝ln2t+bt3，t∈（0，1）， 则g′（t）2+3bt2， 当b≥0时，﹣3bt2+2+3b＞﹣3b+2+3b＝2＞0， 所以g′（t）＞0恒成立， 所以g（t）在（0，1）上为增函数， 所以g（t）＞g（0）＝0，即f（x）＞﹣2在（1，2）上恒成立， 当b＜0时，﹣3bt2+2+3b＞2+3b≥0， 所以g′（t）＞0恒成立， 故g（t）在（0，1）上为增函数，故g（t）＞g（0）＝0， 即f（x）＞﹣2在（1，2）上恒成立， 当b，即当0＜t1时，g′（t）＜0， 所以在（0，）上g（t）为减函数， 所以g（t）＜g（0）＝0，不合题意，舍去， 综上所述，f（x）＞﹣2在（1，2）上恒成立时，b， 而b时，由上述过程可得g（t）在（0，1）单调递增， 所以g（t）＞0的解为（0，1）， 即f（x）＞﹣2的解为（1，2）， 综上所述，b， 所以b的取值范围为[，+∞）． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 2．（2024 新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3． （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣1，f′（x）＝ex﹣1，利用导数的几何意义能求出曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． （2）f′（x）＝ex﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，此时函数f（x）无极值，从而a＞0，令f′（x）＝ex﹣a＝0，得x＝lna，求出函数f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna），从而f（x）极小值＝f（lna）＝a﹣alna﹣a3＜0，进而1﹣lna﹣a2＜0，令g（a）＝﹣a2﹣lna+1，0，利用导数性质能求出a的取值范围． 【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3， ∴当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣1，f′（x）＝ex﹣1， ∴f（1）＝e﹣2，∴切点坐标为（1，e﹣2）， 切线的斜率为k＝f′（1）＝e﹣1， ∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为： y﹣（e﹣2）＝（e﹣1）（x﹣1），整理得：y＝（e﹣1）x﹣1． （2）∵函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3，∴f′（x）＝ex﹣a， 当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，此时函数f（x）无极值， ∴a＞0， 令f′（x）＝ex﹣a＝0，得x＝lna， 当x＜lna时，f′（x）＜0，当x＞lna时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna）， ∴f（x）极小值＝f（lna）＝a﹣alna﹣a3＜0， ∴1 ... ...