向量的坐标表示 教学设计 沪教版

向量的坐标表示 平面向量基本定理 一、 教材分析 向量基本定理是沪教版必修第二册第八章《平面向量》第三节《向量的坐标表示》的第一课时。本节课是建立在学生已掌握向量的概念与线性运算、向量的数量积的基础上进行学习，也为本章后续内容向量的坐标表示及利用坐标进行向量运算的学习打下基础，同时也为选择性必修第一册第三章第二节《空间向量基本定理》做铺垫。 在第八章《平面向量》的第一第二节，学生对于向量的认识停留在几何层面，而在第三章引入直角坐标系后，把几何表示的向量又化为代数对象，使向量成为代数方法解决几何问题的有效工具。而直角坐标系的引入是基于向量基本定理的，因此向量基本定理对于学生对向量的理解具有重要意义。 二、 教学 目标 1. 理解向量基本定理，了解基的概念并能用基表示平面内的向量，会利用唯一性建立方程； 2. 经历向量基本定理的推导过程，体验选择适当的基向量在解决问题中所带来的便捷，理解基的作用； 3. 感受数学的简洁美与数学体系的严谨，培养数学抽象素养。 三、 教学重点与难点 教学重点：探索并证明向量基本定理，会用基表示平面内的向量 教学难点： 向量基本定理的证明与理解，向量基本定理的应用 四、 教学过程 （一）复习引入 向量的加法：给定平面上两个不平行的向量e1 , e2 如何作出他们的和向量？ 【预设回答】移到同一起点，作平行四边形（用数学的语言表达“移 ”这个过程） 在平面上任取一点 O ，O 为起点作 OA = e1 , OB = e2 ，以 OA, OB 为邻边作平行四边形 OACB ，向量 OC 即为 e1 , e2 和向量，换句话说，我们利用 e1 , e2 的线性组合表示出了OC . 【问题 1】我们在用平行四边形法则的时候需要注意什么？ 【预设回答】两个不平行向量才能用平行四边形法则，同时也规避了两向量中存在零向量的可能。 设计意图：回忆向量加法的平行四边形法则，在已有知识的基础上建构新知。同时，对于学生易忽略的条件进行强调复习，为后续探究基底选择的条件（不平行）作铺垫。排除存在零向量的情况，保证证明中向量共线充要条件的使用。 （二）新知探究 【问题 2】如图， OE 可否利用 e1 , e2 表示出来？ 【预设回答】过 E 作 OA 、OB 的平行线交 OB、OA 于 N、M，此时 OE = OM + ON 由向量共线的充要条件， 由于1 , ≠ , 所以存在实数 λ, μ 使得 = λ1 , = μ , 那 么 = + = λ1 + μ 【问题3】平面上任意一个向量可否利用 e1 , e2 表示？ 【预设回答】可以，只要将向量移到与 e1 , e2 同起点，再作平行四边形 【动图演示】发现 λ, μ 始终存在，但平行四边形不始终存在，因此需要单独讨论。 【补充证明】与 OA 平行的向量如何用 e1 , e2 表示？ （利用向量共线的充要条件，同时 取 e2 前系数为 0）零向量如何用 e1 , e2 表示？（ e1 , e2 前系数均为 0） 【总结归纳】 e1 , e2 为平面上两个不平行的向量，对于该平面上任意向量 a ，都存在实数 λ, μ , 使得 = λ1 + μ （ 1 , 线性组合） 即：当 e1 , e2 不平行时，可以用他们的线性组合来表示平面上任意一个向量 a 设计意图：平行四边形法则作为脚手架，引导学生探索向量基本定理。在猜测的基础上，通过直观动图验证，发现存在利用平行四边形法则无法证明的情况。对于这样的特殊情况也加以考虑，使得任意性的探索更加完整。该过程也已经自然地将存在性证明完毕。 （三）定理完善 【问题 4】当我们取定1 , , ，他们的线性组合是否唯一？即 λ, μ 是否唯一？ 【预设回答】 ①当 e1, e2, a 确定，那平行四边形也就唯一确定（图形上说明，不严谨，猜测唯一） ②反证法：假设存在 λ' , μ ' ，使得 = λ' 1 + μ ' ，那么( λ - λ')1 = ( μ ' - μ ) 若 λ ≠ λ' 则 此时1 ，与条件矛盾。因此 λ = λ' ( ' )同理： ... ...