数学试题 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟 注意事项: 1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2. 答选择题时,必须使用 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号. 3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效. 5. 考试结束后, 只将答题卡交回. 第 1 卷 (选择题) 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知命题 ; 命题 ,则( ) A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 3. 在空间中, 下列命题正确的是 ( ) A. 垂直于同一直线的两条直线平行 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 若一个平面经过另一个平面的一条垂线, 则这两个平面互相垂直 D. 若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面平行 4. 若 且 ,则 “ ” 是 “ 为等差数列” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知二项式 的展开式中所有项的系数和为 32,若 , 且 ，则 等于( ) A. -1 B. C. 2 D. 3 6. 已知三个平面向量 两两的夹角相等,且满足 ,则向量 在向量 上的投影向量是( ) A. B. C. 或 D. 或 7. 若 恒成立，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 8. 已知 ,不等式 在 中的整数解有 个. 关于 的个数,以下不可能的是( ) A. 1014 B. 1013 C. 507 D. 0 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 设函数 的导函数为 ,则( ) A. B. 有且仅有两个极值点 C. 有且仅有两个零点 D. 若 在 上有最大值,则 10. 设 分别为随机事件 的对立事件,以下概率均不为零,则下列结论正确的有 ( ) A. B. 若 ,则 C. D. 11. 在平面直角坐标系 中,已知曲线 ,则( ) A. 曲线 是某个函数的图象 B. 过点 可作两条直线与曲线 相切 . 过曲线 上一点 作 与 的垂线,垂足分别为 ,则四边形 面积的最大值为 . 曲线 上存在两个不同的点 ,使得线段 被点 平分 第 II 卷 (非选择题) 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知 是虚数单位,复数 ,则 _____. 13. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,它们的终边关于 轴对称, 若 ,则 的最大值为_____. 14. 已知直线 与圆 相切于点 是圆 上一动点,点 满足 ,且以 为圆心, 为半径的圆恰与 相切,则当 取最小值时,点 的坐标可以为_____. 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 中，角 的对边分别为 . 已知 . (1)求 的值； (2)若 是 边的中点,求 的值. 16. (本小题满分 15 分) 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评. 某款人形机器人在排练时, 导演对机器人下达了 7 个动作指令, 机器人成功完成了其中 5 个. 现从这 7 个指令中随机抽取 4 个进行回放分析,以 表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求 的分布列和数学期望； (2)若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为 0.9 ；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为 0.5 . 设下达的动作指令表述模糊的概率为 ,若该机器人成功完成指令的概率为 0.8 ,求 的值; (3)在排练过程中，记录了机器人完成某个特定动作的练习次数与所需时间(秒)的数据， 如下表: 练习次数 2 4 5 6 8 完成时间 8 7 6 5 4 且 关于 的线性回归方程为 ,预测当练习次 ... ...
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