南宁二中 2025—2026 学年度下学期高二开学考试 数学 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 () A. B. C. D. 2. 已知函数 在点 处的切线方程为 ,则 ( ) A. -5 B. -3 C. 3 D. 5 3. 已知双曲线 的离心率为 3,则双曲线 的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 4. 已知圆 与圆 交于 两点,则 ( ) A. B. C. D. 5. 已知 是三个不同的平面， 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是 ( ) A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 6. 美加墨足球世界杯将于 2026 年 6 月至 7 月在美国、加拿大、墨西哥的 16 座城市举行, 将是首次有 48 支球队参赛的世界杯. 现在要从 五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若 只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( ) A. 24 种 B. 36 种 C. 60 种 D. 120 种 7. 设 是向量,则 “ ” 是 “ 或 ” 的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知 ，则 的大小关系是( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知一组样本数据为7,1,3,4,5,1,5,6,则下列说法中正确的是 ( ) A. 这组数据的极差是 5 B. 这组数据的中位数是 4.5 C. 这组数据的第 80 百分位数是 5.5 D. 这组数据的方差是 4.25 10. 已知 为坐标原点,椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在 上, ,且 为 上一个动点,则 ( ) A. B. 的长轴长为 4 C. 的最小值为 D. 的最大值是 11. 已知函数 ,将 的图象上所有点向左平移 个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得到函数 的图象. 若 为偶函数,且最小正周期为 ,则( ) A. 图象关于点 对称 B. 图象在 上单调递增 C. 在 上有且仅有 3 个解 D. 在 上有且仅有 3 个极大值点 四、解答题:本题共 5 小题, 共 15 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 12. 已知等差数列 中， ， ，则 _____. 13. 若复数 满足 ，则 的最大值为_____. 14. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 是 中点，动点 在底面 内(不包括边界)，使四面体 体积为 ，则 的最小值是_____. 三、解答题:本题共 6 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤. 15. 已知数列 ,若 ,点 在斜率是 2 的直线上. (1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 16. 记 的内角 所对的边分别为 ，已知 . (1)求 ； (2)若 是 的中线，且 ， 的面积为 ，求 的周长. 17. 如图，在三棱柱 中， ，四边形 为菱形， ， . (1)证明: . (2)已知平面 平面 ，求二面角 的正弦值. 18. 已知抛物线 的焦点 和椭圆 的右焦点重合,直线 过点 交抛物线于 两点. (1)若直线 的倾斜角为 ，求 的长； (2)若直线 交 轴于点 ，且 ， ，试求 的值. 19. 已知函数 . (1)讨论 的单调性; (2)设 的导函数为 ，若 有两个不相同的零点 ， . ① 求实数 的取值范围； ② 证明: . 1. C 在数轴上分别标出集合 所表示的范围,如图所示, 由图可知, . 故选: C. 2. A 因为函数 在点 处的切线方程为 , 所以 ,且 ,所以 , 所以 . 故选: A. 3. A 双曲线 的渐近线方程为 , 因为双曲线 的离心率为 3,即 ,所以 , 所以 ,所以 , 所以双曲线 的渐近线方程为 , 故选: A 4. A 圆 ,即 的圆心 ,半径 ; 圆 ,即 的圆心 ,半径 , 而 ,则两圆相交,其公共弦所在方程为 , 点 到 的距离 , 所以 . 故选: A 5. C 对于 ,由 ,得 或 与 相交,故 错误; 对于 ,若 则 与 可能是异面直线、也可能是相交直线,也可能是平行直线, 所以 B 错误; 对于 ,若 ,由线面垂直的性质定理知 ,所以 正确; 对于 ,若 , ... ...
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