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课件网) 第5章 特殊平行四边形 5.1 矩 形 第1课时 矩形的概念及性质 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 有一个角是直角的 平行四边形 叫作矩形. 2. 矩形不但具有一般平行四边形的性质,而且还具有一些特殊的性质:(1) 矩形的四个角都是 直角 ;(2) 矩形的对角线 相等 . 平行四边形 直角 相等 1. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法不一定成立的是( D ) A. ∠ABC=90° B. AC=BD C. OA=OB D. OA=AD D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. (2025·杭州段考)将两张矩形纸条按如图所示的方式叠放.若∠1=125°,则∠2的度数为( B ) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图,线段BC为等腰三角形ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O. 若OD=2,则AC的长为 4 . 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. (2025·杭州期中)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是边CD的中点,连结OM,OB. 若AB=8,OM=3,则OB的长为 5 . 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. (教材变式)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,DE上,DF=CE,BC=DE,连结AF. 求证:AF⊥DE. 第5题 解:因为四边形ABCD是矩形,所以∠C=90°,AD=BC,AD∥BC. 所以∠ADF=∠DEC. 因为BC=DE,所以DE=AD. 在△ADF和△DEC中, ,所以△ADF≌△DEC. 所以∠AFD=∠C=90°.所以AF⊥DE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图,在矩形ABCD中,连结对角线AC,BD,将△ABC沿BC方向平移,使点B平移到点C的位置,得到△DCE. (1) 求证:△ACD≌△EDC; 解:(1) 因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,AD=BC,∠ADC=∠ABC=90°.由平移的性质,得DE=AC,EC=BC=AD,∠ECD=∠ABC=∠ADC. 在△ACD和△EDC中, 所以△ACD≌△EDC 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 试探究△BDE的形状,并说明理由. 解:(2) △BDE是等腰三角形 理由:由(1),得AC=BD,DE=AC,所以BD=DE. 所以△BDE是等腰三角形. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. (2025·兰州)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连结EF交对角线BD于点P. 若P为EF的中点,∠ADB=35°,则∠DPE的度数为( C ) A. 95° B. 100° C. 110° D. 145° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图,在矩形纸片ABCD中,点E在边BC上,将△CDE沿DE翻折得到△FDE,点F落在AE上.若CE=3cm,AF=2EF,则AB= 3 cm. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (2024·温州模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是边BC上一点,∠DAE的平分线交BC的延长线于点F,交CD于点G,连结EG. (1) 求证:EF=AE; 解:(1) 在矩形ABCD中,AD∥BC,所以∠DAF=∠F. 因为AF平分∠DAE,所以∠DAF=∠EAF. 所以∠EAF=∠F. 所以EF=AE 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 当EG⊥AE时,求CF的长. 解:(2) 因为EG⊥AE,所以∠AEG=90°.在矩形ABCD中,∠D=90°,所以∠AEG=∠D. 因为∠DAG=∠EAG,AG=AG,所以△AEG≌△ADG. 所以AE=AD=10.在Rt△ABE中,AB=8,所以BE= = =6.因为EF=AE=AD=BC,所以EC+CF=EC+BE. 所以CF=BE=6 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. (新考法·探究题)在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AB=4,BC=3. (1) 如图①,当P是CD上任意一点时,分别过点P作PE⊥BD于点E,PF⊥AC于点F,则PE和PF之间有怎样的数量关系 请说明理由. 解:(1) PE+PF= 理由:连结OP,设点C到BD的距离为h.因为四边形ABCD是矩形,所以CD=AB=4,OC=OD,∠BCD=90°.在Rt△BCD中,由勾股定理,得BD= = =5.由S△BCD= BD·h= BC·CD,得h= .由S△COD=S△DOP+S△COP,得 OD·h= OD·PE+ OC·PF. 所以PE+PF=h= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 如图②,当P是AD上任意一点时,分别过点P作PE⊥BD于点E,PF⊥AC于点F. 猜想PE和PF之间有怎样的数量关系,直接写出结果. 解:(2) PE+PF= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 如图③,当P是 ... ...
