中小学教育资源及组卷应用平台 分课时学案 课题 18.1.2.1矩形的判定 单元 18 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，掌握演绎推理的基本方法； 2.通过动手作图，观察图形特征，建立几何直观； 3.从矩形的性质中抽象出判定条件，体会性质与判定的互逆关系； 4.能够运用矩形的判定方法解决简单的几何问题和实际问题。 重点 矩形判定定理的探究与证明。 难点 矩形判定定理的证明思路及辅助线的运用。 教学过程 导入新课 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是不是矩形。除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？ 矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质： 1.四个角都是直角； 2.两条对角线相等。 这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？ 新知讲解 让我们先思考有关的角。由矩形的性质“四个角都是直角”，你可能会想到，如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形。的确如此，但是，条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？ 试一试 如图18.1.8，作一个三个角都是直角的四边形。 作法： （1）任意作两条互相垂直的线段； （2）过点作垂直于的直线； （3）过点作垂直于的直线，与直线相交于点。 四边形即为所要求作的四边形。 观察你所作的图形，它是一个矩形吗？ 由此可以得到判定矩形的一种方法： 矩形的判定定理1： 【提问】你能证明这个结论吗？ 思考 现在让我们再思考有关的线段。 “对角线相等”是矩形所特有的性质。那么从对角线的角度，你可以得到关于矩形判定的什么猜想？与你的同伴交流一下，看看你们的想法是否一致、可行。 由此，我们可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是矩形。” 试一试 如图18.1.9，作一个对角线相等的平行四边形。 作法： （1）任意作两条相交的直线，交点记为； （2）以点为圆心、适当长为半径作弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； （3）顺次连结所得的四点。 四边形的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形。 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是不是矩形。 由此可以得到判定矩形的另一种方法： 矩形的判定定理2： 下面我们用演绎推理进行证明。 已知：如图18.1.10，四边形是平行四边形， 求证：四边形是矩形。 例5 如图18.1.12，四边形是由两个全等的正三角形组成的，分别为的中点。求证：四边形是矩形。 例6 如图18.1.13，在中，，垂足为点的外角的平分线，，交于点。求证：四边形是矩形。 巩固训练 1.如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 （只添一个即可），使ABCD是矩形 2.如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是 3.如图， 的对角线 相交于点 是等边三角形 交 于点 ．则 的长为 4.木工师傅要做一张长方形的桌面完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面 （填“合格”或“不合格”） 5.如图，中，为钝角，以为边向外作为钝角，连结．设的面积分别为，则的面积可表示为（ ） A． B． C． D． 6.如图，以钝角三角形 ABC的最长边 BC 为边向外作矩形 BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD 的面积分别为S，S1，S2，若要求出的值，只需知 ( ) A．△ABE的面积 B．△ACD 的面积 C．△ABC的面积 D．矩形 BCDE 的面积 7.如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边 BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H. （1）求证：四边形 AGPH 是矩形 （2）在点 P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.中，点分别为边的中点，于点于 ... ...
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